Revenir à Réfléchir à distance

Jour 12 : Symétries et autres transformations

Introduction

Aujourd’hui, nous vous invitons à découvrir les transformations du plan et à les utiliser dans des contextes variés.

Des transformations qui changent la forme

Tout d’abord, jouons avec une image sur l’ordinateur, par exemple en l’insérant dans un texte. Nous pouvons l’étirer, l’aplatir, changer une dimension ou les deux, mais de façon différente. Avec des logiciels plus perfectionnés, nous pourrions la déformer encore plus, à la manière des miroirs déformants. Mais pourquoi dit-on que l’image est déformée ? De façon intuitive, nous avons envie de dire qu’elle a changé. Ce qui a changé, c’est le rapport entre les dimensions, qui nous fait perdre nos repères.

Des agrandissements et des réductions

Lorsque nous regardons des images d’animaux (ou d’autres choses), nous savons que les dimensions proposées ne correspondent en général pas à la réalité. Cette fois, la forme est correcte, mais, pour s’adapter à la dimension de l’image ou de l’écran on a agrandi ou réduit les dimensions. Un jeu peut consister à estimer de combien on a réduit ou agrandi l’image : c’est l’échelle, que l’on retrouve sur les cartes, visible quand on touche l’écran sur des applications comme Google Maps.

La symétrie aux mille facettes

Notre vie quotidienne regorge d’objets dont l’apparence ne change pas lorsqu’on les retourne : rectangles, carrés, disques, triangles isocèles. Toutes ces formes sont symétriques : on ne peut pas voir si on les a retournées, sauf si on colorie différemment recto et verso.

Très vite cependant, nous sommes confrontés à des objets différents si on les retourne, non symétriques, qui bousculent notre idée intuitive de symétrie. C’est ce qui fait par exemple que les jeunes enfants n’ont pas le réflexe de retourner le parallélogramme d’un puzzle géométrique. C’est aussi la difficulté d’objets de notre quotidien non symétriques, conçus pour les droitiers : taille-crayons, tire-bouchons, bouteilles dont le bouchon se dévisse, tournevis, ciseaux, …

Pour imaginer l’effet de la symétrie d’une figure dans le plan, on peut reproduire une figure sur un plastique transparent, et la retourner. Pour prendre conscience de l’axe de cette symétrie, le miroir est un accessoire très utile. Inventer des formes à l’aide d’un objet et de son image, jouer à placer le miroir en différents endroits sur une image et voir le résultat, voir sur des photos que les visages ne sont pas tout à fait symétriques sont autant de sensibilisations à la notion de symétrie axiale. On peut aussi plier une feuille en deux, découper une forme autour du pli, et déplier le résultat obtenu, qui sera une figure symétrique.

Les rotations

Dès le plus jeune âge, l’enfant aborde des rotations, sans toujours en avoir conscience : tourner sur soi-même, faire un demi-tour, tourner des roues ou des hélices, construire un petit moulin à vent en papier, utiliser des attaches parisiennes pour pouvoir faire tourner une roue de papier.

L’idée est toujours la même : on a un élément central (un point dans le plan, une droite, qu’on appelle axe, dans l’espace) et les figures ou objets tournent autour en restant à même distance du centre, d’un certain angle, qui s’exprime pour les plus jeunes en tour, demi-tour, quart de tour (vers la gauche ou vers la droite), et plus tard se mesure en degrés, dans le sens antihorlogique (positif) ou horlogique (négatif), ou encore en radians (un tour complet correspond à 2π radians)

On retrouve l’idée de symétrie centrale dans nos jeux de cartes, avec les images, reproduites pour que la façon dont on place les cartes (haut ou bas) ne les change pas. Dans le plan, effectuer une symétrie centrale correspond tout simplement à faire un demi-tour, c’est donc une rotation particulière de 180°.

Les translations

Le papier peint, le papier cadeau, et d’une façon générale les papiers à motifs répétitifs utilisent souvent la notion de translation : on a un dessin de base, que l’on fait glisser, toujours de la même façon, et que l’on reproduit. Facile à dire, mais pas toujours à faire : je vous laisse essayer ! Quelques indices : le motif se reproduit sur des droites parallèles, en gardant un écart constant.

Quelques activités à différents niveaux

  1. Jouer à déformer des images sur l’ordinateur.
  2. Observer des photos. Pour les plus jeunes, dire si ce qui est représenté est plus grand ou plus petit, à quel objet peut être comparé ce qui est représenté “C’est grand comme …”. Pour les plus grands, essayer de trouver le facteur d’agrandissement ou de réduction.
  3. Reproduire quelque chose à l’échelle : pièces d’un puzzle géométrique, une pièce simple ou découpée, faire le dessin ou la maquette d’une pièce.
  4. En plus des jeux de miroirs, les applications Miroirs et réflexions puzzles et Lazors sont assez intéressantes. Plus simplement, dessiner le symétrique d’une figure, et vérifier en pliant la feuille et en vérifiant si l’image est correcte par transparence est une façon de faire construire de façon de plus en plus précise l’image d’une figure.
  5. Il est possible de s’exercer à visualiser l’image d’un point par une transformation à l’aide des jeux en ligne Vise le mille pour la symétrie axiale, Vise le mille pour la symétrie centrale et Vise le mille pour la translation.
  6. Jouer avec des engrenages, prendre conscience des objets “qui tournent” est une première approche des rotations. Essayer de trouver “de combien on a tourné” est un défi pour tous, si on demande la réponse en fraction de tour, en degrés ou en radians selon l’âge.
  7. Construire des cartes rectangulaires en utilisant la notion de symétrie centrale, comme pour nos jeux de cartes. Pourrait-on imaginer des cartes carrées où le dessin serait le même quelle que soit la façon dont on prend les cartes ?
  8. L’application “Galaxies” aborde la notion de symétrie centrale et est accessible sur https://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/js/galaxies.html.
  9. Une belle utilisation des transformations du plan : les frises, par Micmaths : et la classification des frises géométriques.
  10. Je vous propose maintenant de construire un hexaflexagone : un hexagone qui a non pas deux faces, mais trois !
  11. Pour les mordus, vous êtes prêts maintenant à construire des kaléidocycles
  12. Enfin, pour une autre approche, je vous propose quelques productions personnelles, reprises de la partie Exposés de ce site :
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