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Jour 9 : La déduction et l’induction

De quoi s’agit-il ?

La déduction consiste à utiliser des informations pour en tirer une conclusion dont on est sûr qu’elle est vraie. Cette conclusion peut être évidente, ou demander un raisonnement plus élaboré.

Par exemple, si un code secret est constitué de 4 chiffres différents allant de 1 à 4, si je connais déjà 3 chiffres (par exemple 14_2), je peux en déduire directement que le chiffre manquant _ est 3.

L’induction consiste à utiliser des informations pour en tirer une conclusion dont on est pas sûr qu’elle soit vraie, mais qui est possible. Cette conclusion peut à ce stade être vraie ou fausse. En mathématique, on parle alors de conjecture.

Voici un exemple, très (trop ?) simple, avec le même type de code secret, si je connais les deux premiers chiffres (par exemple 32_ _), le code peut être 3214. Je peux tester cette réponse, qui sera soit vraie, soit fausse (si le code est 3241).

Utilisations en mathématique

En mathématique, une théorie se construit à partir de termes “naïfs”, non définis (il faut bien partir de quelque chose) et d’axiomes, c’est-à-dire de règles que l’on va considérer comme vrais et qui seront le point de départ de la théorie.

A partir de cela, on va se poser des questions et établir des conjectures (en utilisant l’induction), que l’on va essayer de démontrer à partir de ce que l’on connaît (les axiomes). Une fois que l’on a prouvé par un raisonnement (une démonstration) que la conjecture est vraie (en utilisant donc la déduction), elle va prendre le nom de théorème (ou propriété) et pourra servir de base pour se poser de nouvelles questions.

Les mathématiques utilisent donc à la fois l’induction et la déduction, qui ont chacune leur importance à des moments différents.

Les projets de recherche en mathématique permettent aux élèves de découvrir ces deux aspects, alors que bien souvent on montre aux élèves une théorie déjà établie sans leur laisser assez de temps pour se poser des questions, établir des conjectures et essayer de les prouver, ou montrer qu’elles sont fausses en montrant une situation qui les contredit (cette situation est ce qu’on appelle un contrexemple).

Quelques activités à différents niveaux

De nombreux jeux utilisent, pour les niveaux les plus simples la déduction, et progressivement l’induction.

  1. Des jeux comme Bazar bizarre, Pippo, Figurix, Cluedo sont basés sur la déduction.
  2. Des jeux comme Chocolate Fix, Métaformes, Sudoku, Démineur sont basés sur la déduction, mais les raisonnements plus complexes nécessitent de faire des hypothèses, et font donc appel à l’induction.
  3. Des jeux plus complexes comme le Master Mind (appelé aussi Guess) et d’autres jeux rassemblés sous l’étiquette Puzzles de Simon Tatham (téléchargeables gratuitement sur Smartphone ou tablettes), avec possibilité de jouer en ligne (en anglais) sur https://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/
  4. D’autres jeux permettent de travailler l’induction et la recherche de propriétés essentielles : Concept, Code Names, et récemment Association 10 dés. Si vous n’avez pas ces jeux, il est possible de jouer à plusieurs avec les règles suivantes. Faire deviner un mot (soit librement choisi, soit d’une liste obligatoire) à l’aide du moins de mots possibles.
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