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Jour 10 : L’égalité

Introduction

Tout le monde connaît le symbole =, mais que signifie-t-il exactement ? Historiquement, il est apparu au 16e siècle, utilisé par un mathématicien gallois, Robert Recorde, pour remplacer le mot “égal”, qui a justifié son choix par la phrase suivante : “Si j’ai choisi une paire de parallèles, c’est parce qu’elles sont deux lignes parallèles et que rien n’est plus pareil que deux jumeaux”.

L’égalité sert donc à exprimer une similitude totale entre deux objets.

Remarquons cependant que selon les langages de programmation, le symbole =, parfois doublé ou triplé, peut prendre plusieurs significations, parfois différentes de l’égalité.

L’égalité est symétrique

L’égalité a la même signification si on intervertit les objets : dire a = b revient à dire que b = a.

Cet aspect est souvent malmené à l’école primaire, ou trop souvent le symbole “=” revient à demander d’effectuer un calcul, comme par exemple 7 x 5 =

Une façon de redonner sa pleine signification au symbole = est de demander d’associer des opérations donnant le même résultat, en faisant écrire par exemple : 4 x 3 = 6 x 2.

Une autre façon de se représenter l’égalité est l’image d’une balance à l’équilibre.

L’égalité est transitive

Si je sais que a = b et que b = c, je peux en déduire que a = c.

Cette propriété est essentielle dans les raisonnements mathématiques, elle est liée à la déduction.

Par exemple, si je sais que x = y, et que y = 4, je peux en déduire que x = 4.

Egalité et équivalence

L’équivalence est le fait d’être pareil “avec certaines lunettes”, c’est à dire en s’intéressant à une caractéristique particulière de plusieurs objets et pas forcément à toutes ses caractéristiques. Autrement dit, l’égalité est une “super” équivalence entre plusieurs objets, qui sont pareils quel que soit le critère observé.

Par exemple un carré jaune et un triangle jaune sont équivalents si je m’intéresse à la couleur, mais pas si je m’intéresse à la forme : ils ont même couleur mais pas même forme. Ils ne sont pas égaux.

Egalité et inégalité

Si deux objets ne sont pas égaux, ils sont dits différents. Dans le cas des nombres ou des mesures de grandeurs, on peut affiner nos propos en parlant d’inégalité et en ordonnant ces nombres ou ces mesures de grandeurs.

Cette fois, on ne peut plus intervertir les objets (l’inégalité est antisymétrique), mais on peut toujours effectuer des déductions : si a > b et si b > c, je peux en déduire que a > c (on aurait eu le même résultat avec < ) : l’inégalité est transitive. Cette propriété est particulièrement importante dans la construction de raisonnements mathématiques.

Egalité et équation

Une équation est une égalité particulière : en effet, elle comporte une ou plusieurs variables, désignées par des lettres, et trouver la valeur de celle(s)-ci qui rend vraie l’égalité s’appelle résoudre l’équation, qui peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions selon les circonstances.

Quelques idées d’activités, à différents niveaux

  1. Pour les plus jeunes, le plus important n’est pas d’écrire des calculs, mais d’utiliser le vocabulaire dans toutes les occasions possibles de la vie quotidienne, d’enrichir les expériences concrètes. Trouver des objets identiques et dire qu’ils sont pareils, égaux, ou trouver leurs différences. Comparer des objets en s’intéressant à une grandeur (longueur par exemple), trouver des objets de même longueur, …
  2. On peut construire un jeu en proposant le nombre du jour, et plusieurs représentations de celui-ci, que l’on peut écrire sur des cartes (une face avec le nombre, une face avec la représentation), par exemple sous la forme d’un calcul. Chaque jour, on augmente la collection et on peut progressivement jouer à un jeu des familles. S’il y a trop de cartes, on peut jouer en plusieurs manches, en en reprenant que ce qui a posé problème.
  3. On peut aussi (faire) créer des jeux de paires avec des calculs, par exemple liés aux tables de multiplication.
  4. Un petit jeu, “Détective Mathéo“, est une sorte de Dobble avec les opérations : une seule association est correcte.
  5. Une application gratuite travaille de façon originale l’égalité, représentée sous la forme d’une balance : SolveMe Mobiles : https://solveme.edc.org/mobiles/
  6. Notons que l’application DragonBox Algebra 12+, qui introduit progressivement la notion d’équation, est actuellement gratuite.
  7. Une application gratuite “The equations games” fait résoudre des équations en travaillant simultanément sur les deux membres d’une égalité : un bel exerciseur pour les équations !
  8. Des jeux comme Zalogo, ou plus récemment Par Odin, travaillent aussi l’idée d’égalité et d’équation.

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